Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 1.2.3.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 2.3.1.2

Divida a fração em diversas frações.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.1.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ como $e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$