Cálculo Exemplos

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{x} y + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3 e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 e^{x} y$ em relação a $y$ é $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $3 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} = e^{x}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 e^{x} = e^{x}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $e^{x}$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $e^{x}$ por $N$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 d x}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 e^{x} y + x$ por $e^{2 x}$ .

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $e^{2 x}$ .

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.3.3

Some $2 x$ e $x$ .

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.4

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $e^{x}$ por $e^{2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Some $x$ e $2 x$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = e^{3 x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{3 x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 11.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 y e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $3 y e^{3 x}$ de $3 y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $x e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x e^{2 x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.4

Simplifique.

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Etapa 13.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.4.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 13.6

Remova os parênteses.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Etapa 13.7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 13.7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 13.7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 13.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 13.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 13.10

Simplifique.

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Etapa 13.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 13.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 13.11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 13.12

Reescreva $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 13.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ .

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$