Cálculo Exemplos

$m x d y = n y d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{y}$ e $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Etapa 2.3.2

Fatore $y$ de $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Etapa 2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Como $m$ é constante com relação a $y$ , mova $m$ para fora da integral.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Etapa 3.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $n$ é constante com relação a $x$ , mova $n$ para fora da integral.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Etapa 4.2

Some $n \ln (| x |)$ aos dois lados da equação.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ por $\ln (| y |)$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| y |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $m$ por $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Etapa 4.4

Reescreva a equação como $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Etapa 4.5

Multiplique cada termo em $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ por $\ln (| y |)$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.5.1

Multiplique cada termo em $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Combine $\frac{C}{\ln (| y |)}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Etapa 4.5.2.1.2

Combine $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Etapa 4.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Etapa 4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1

Cancele o fator comum de $\ln (| y |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Etapa 4.7.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Etapa 4.7.2

Cancele o fator comum de $\ln (| y |)$ .

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Etapa 4.7.2.1

Cancele o fator comum.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Etapa 4.7.2.2

Divida $n \ln (| x |)$ por $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Etapa 4.8

Mova todos os termos que não contêm $\ln (| y |)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.8.1

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Etapa 4.8.2

Subtraia $n \ln (| x |)$ dos dois lados da equação.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Etapa 4.9

Divida cada termo em $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ por $- m$ e simplifique.

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Etapa 4.9.1

Divida cada termo em $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ por $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Etapa 4.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.9.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Etapa 4.9.2.2

Cancele o fator comum de $m$ .

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Etapa 4.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Etapa 4.9.2.2.2

Divida $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Etapa 4.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Etapa 4.9.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Etapa 4.10

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Etapa 4.11

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Etapa 4.12

Resolva $y$ .

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Etapa 4.12.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Etapa 4.12.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$