Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x + 2 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

Etapa 1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Mova $y^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.4.3

Some $2$ e $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Etapa 1.5.5

Combine.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Etapa 1.5.7

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.7.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.7.2.1

Fatore $x$ de $4 x y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Etapa 1.5.7.2.2

Cancele o fator comum.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Etapa 1.5.7.2.3

Reescreva a expressão.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.8

Multiplique $y + 2 y^{3}$ por $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.9

Fatore $y$ de $y + 2 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.9.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.9.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.9.3

Fatore $y$ de $2 y^{3}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.9.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.10

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.10.1

Cancele o fator comum.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.10.2

Reescreva a expressão.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.11

Cancele o fator comum de $1 + 2 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.11.1

Cancele o fator comum.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Etapa 1.5.11.2

Reescreva a expressão.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reordene $y$ e $1$ .

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.3

Reordene $y$ e $2$ .

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.7

Some $1$ e $2$ .

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.1.8

Reordene $y$ e $2 y^{3}$ .

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.2.6.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$