Cálculo Exemplos

$y^{3} \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \cos (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{4} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{4} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y^{4} + 1$ de $(y^{4} + 1) \cos (x)$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) (\cos (x)))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \cos (x)$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Combine frações.

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Etapa 2.2.1.1

Combine $\frac{1}{y^{4} + 1}$ e $y^{3}$ .

$\int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u_{1} = y^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u_{1} = y^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.5

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.2.8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) = \sin (x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |)) = 4 (\sin (x) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| y^{4} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 (\sin (x) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 |)} = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 \sin (x) + 4 C} = | y^{4} + 1 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$ .

$| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{4} = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + C} - 1}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{4 \sin (x) + C}$ como $e^{4 \sin (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x)} e^{C} - 1}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{4 \sin (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{C} e^{4 \sin (x)} - 1}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt[4]{C e^{4 \sin (x)} - 1}$