Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ por $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ por $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ como ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.4

Converta de $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ em $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.5

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Etapa 1.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $\csc^{2} (V) + V - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $\csc^{2} (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $\csc^{2} (V)$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ como ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva $\csc (V)$ em termos de senos e cossenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.5

Multiplique $\sin (V)$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (V)$ como $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $V$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Deixe $u = 2 V$ . Depois, $d u = 2 d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.2.7.1

Deixe $u = 2 V$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

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Etapa 6.2.2.7.1.1

Diferencie $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Etapa 6.2.2.7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $2 V$ em relação a $V$ é $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Etapa 6.2.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.2.2.7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2.2.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.10

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.11

Simplifique.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.13

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.13.1

Combine $\sin (2 V)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.13.4

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

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Etapa 6.2.2.13.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.13.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.14

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8.1.2

Combine $2$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8.1.3

Combine $\sin (\frac{2 y}{x})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$