Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

Etapa 1

Divida $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida a fração $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\sec (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $\sec (V) + V - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $\sec (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $\sec (V)$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva $\sec (V)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (V)}$ .

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $\cos (V)$ por $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\cos (V)$ com relação a $V$ é $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro do seno.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$