Cálculo Exemplos

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Etapa 1

Some $(x + 1) y d x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.2

Multiplique $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 4.3.3.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.5

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Etapa 4.3.8

Reordene os termos.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$