Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Some $y \sqrt{x}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.1.2.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.2.3.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ como $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ como $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$