Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V + V^{2}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V + V^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = - V + V^{2} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Subtraia $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} - 2 V$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V^{2} - 2 V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V^{2} - 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} - \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V}{x}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $V$ de $V^{2} - 2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $V$ de $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V - 2 V}{x}$

Etapa 6.1.2.2.2

Fatore $V$ de $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V + V \cdot - 2}{x}$

Etapa 6.1.2.2.3

Fatore $V$ de $V \cdot V + V \cdot - 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V - 2)}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V (V - 2)}$ .

$\frac{1}{V (V - 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V - 2)} \cdot \frac{V (V - 2)}{x}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $V (V - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V (V - 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V - 2)} \cdot \frac{V (V - 2)}{x}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V (V - 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V (V - 2)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $V (V - 2)$ .

$\frac{1 (V (V - 2))}{V (V - 2)} = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V (V - 2))}{V (V - 2)} = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (V - 2)}{V - 2} = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $V - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V - 2)}{V - 2} = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (V (V - 2))}{V} + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.2

Divida $A (V - 2)$ por $1$ .

$1 = A (V - 2) + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A V + A \cdot - 2 + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A V - 2 \cdot A + \frac{(B) (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $V - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A V - 2 A + \frac{B (V (V - 2))}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.2

Divida $(B) (V)$ por $1$ .

$1 = A V - 2 A + (B) (V)$

$1 = A V - 2 A + B V$

Etapa 6.2.2.1.1.6

Mova $- 2 A$ .

$1 = A V + B V - 2 A$

Etapa 6.2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $V$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $V$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 2 A$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A$

Etapa 6.2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A = 1$ .

$- 2 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{2} A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{2}, A = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{V} + \frac{B}{V - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{V} + \frac{\frac{1}{2}}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{\frac{1}{2}}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $V$ .

$- \frac{1}{2 V} + \frac{\frac{1}{2}}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V - 2}$

Etapa 6.2.2.1.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{V - 2}$ .

$\int - \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2 (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2 V} d V + \int \frac{1}{2 (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $V$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 V} d V + \int \frac{1}{2 (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{V} d V) + \int \frac{1}{2 (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| V |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (V - 2)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| V |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{V - 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Deixe $u = V - 2$ . Depois, $d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.1

Deixe $u = V - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.1.1

Diferencie $V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V - 2]$

Etapa 6.2.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V - 2$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- 2$ em relação a $V$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| V |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| V |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| V |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V |) + \frac{1}{2} \ln (| V - 2 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V |) + \frac{1}{2} \ln (| V - 2 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V |) + \frac{1}{2} \ln (| V - 2 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Combine $\ln (| | x | |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| | x | |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| | x | - 2 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| | x | - 2 |)$ .

$- \frac{\ln (| | x | |)}{2} + \frac{\ln (| | x | - 2 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| V |)}{2} + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| V |)}{2} + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| V |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| V |)}{2}$ para o numerador.

$\frac{- \ln (| V |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \ln (| V |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (| V |) + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (| V |) + \frac{\ln (| V - 2 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Etapa 6.3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 6.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 6.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Simplifique $- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Etapa 6.3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \ln (| V |) + \ln (| V - 2 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Etapa 6.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| V |) + \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}}) = 2 C$

Etapa 6.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| V |)}$

Etapa 6.3.6

Reescreva $\ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| V |)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| V |)} = \frac{| V - 2 |}{x^{2}}$

Etapa 6.3.7

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 C + \ln (| V |)}) = \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}})$

Etapa 6.3.7.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.1

Expanda $\ln (e^{2 C + \ln (| V |)})$ movendo $2 C + \ln (| V |)$ para fora do logaritmo.

$(2 C + \ln (| V |)) \ln (e) = \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}})$

Etapa 6.3.7.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 C + \ln (| V |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}})$

Etapa 6.3.7.2.3

Multiplique $2 C + \ln (| V |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| V |) = \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}})$

Etapa 6.3.7.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| V |) - \ln (\frac{| V - 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Etapa 6.3.7.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V |}{\frac{| V - 2 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Etapa 6.3.7.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| V | (\frac{x^{2}}{| V - 2 |})) = - 2 C$

Etapa 6.3.7.6

Combine $| V |$ e $\frac{x^{2}}{| V - 2 |}$ .

$\ln (\frac{| V | x^{2}}{| V - 2 |}) = - 2 C$

Etapa 6.3.7.7

Reordene os fatores em $\ln (\frac{| V | x^{2}}{| V - 2 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |}) = - 2 C$

Etapa 6.3.7.8

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |})} = e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.9

Reescreva $\ln (\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |}) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |}$

Etapa 6.3.7.10

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.1

Reescreva a equação como $\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |} = e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.2

Multiplique os dois lados por $| V - 2 |$ .

$\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |} | V - 2 | = e^{- 2 C} | V - 2 |$

Etapa 6.3.7.10.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.3.1

Cancele o fator comum de $| V - 2 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} | V |}{| V - 2 |} | V - 2 | = e^{- 2 C} | V - 2 |$

Etapa 6.3.7.10.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} | V | = e^{- 2 C} | V - 2 |$

Etapa 6.3.7.10.4

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.1

Reescreva a equação como $e^{- 2 C} | V - 2 | = x^{2} | V |$ .

$e^{- 2 C} | V - 2 | = x^{2} | V |$

Etapa 6.3.7.10.4.2

Divida cada termo em $e^{- 2 C} | V - 2 | = x^{2} | V |$ por $e^{- 2 C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.2.1

Divida cada termo em $e^{- 2 C} | V - 2 | = x^{2} | V |$ por $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | V - 2 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | V |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 6.3.7.10.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 C} | V - 2 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | V |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 6.3.7.10.4.2.2.1.2

Divida $| V - 2 |$ por $1$ .

$| V - 2 | = \frac{x^{2} | V |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 6.3.7.10.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$V - 2 = \frac{x^{2} (V)}{e^{- 2 C}}$

$V - 2 = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}}$

$- (V - 2) = \frac{x^{2} (V)}{e^{- 2 C}}$

$- (V - 2) = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}}$

Etapa 6.3.7.10.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$V - 2 = \frac{x^{2} (V)}{e^{- 2 C}}$

$V - 2 = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}}$

Etapa 6.3.7.10.4.5

Resolva $V - 2 = \frac{x^{2} (V)}{e^{- 2 C}}$ para $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 2 C}$ .

$(V - 2) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = x^{2} V$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.1

Subtraia $x^{2} V$ dos dois lados da equação.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} - x^{2} V = 0$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.2

Some $2 e^{- 2 C}$ aos dois lados da equação.

$V e^{- 2 C} - x^{2} V = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.3

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C} - x^{2} V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.3.1

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C}$ .

$V e^{- 2 C} - x^{2} V = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.3.2

Fatore $V$ de $- x^{2} V$ .

$V e^{- 2 C} + V (- x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.3.3

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C} + V (- x^{2})$ .

$V (e^{- 2 C} - x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.4

Reescreva $e^{- 2 C}$ como ${(e^{- C})}^{2}$ .

$V ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- C}$ e $b = x$ .

$V ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$V (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6

Divida cada termo em $V (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = 2 e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.1

Divida cada termo em $V (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = 2 e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{V (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- C} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $e^{- C} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 6.3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 6.3.7.10.4.6

Resolva $V - 2 = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}}$ para $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 2 C}$ .

$(V - 2) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2} V}{e^{- 2 C}}$ para o numerador.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} V}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} = - x^{2} V$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.1

Some $x^{2} V$ aos dois lados da equação.

$V e^{- 2 C} - 2 e^{- 2 C} + x^{2} V = 0$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.2

Some $2 e^{- 2 C}$ aos dois lados da equação.

$V e^{- 2 C} + x^{2} V = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.3

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C} + x^{2} V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.3.1

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C}$ .

$V e^{- 2 C} + x^{2} V = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.3.2

Fatore $V$ de $x^{2} V$ .

$V e^{- 2 C} + V x^{2} = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.3.3

Fatore $V$ de $V e^{- 2 C} + V x^{2}$ .

$V (e^{- 2 C} + x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4

Divida cada termo em $V (e^{- 2 C} + x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4.1

Divida cada termo em $V (e^{- 2 C} + x^{2}) = 2 e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{V (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 6.3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 6.3.7.10.4.7

Liste todas as soluções.

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$V = \frac{2 e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$V = \frac{C}{C + x^{2}}$

$V = \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$V = \frac{C}{C + x^{2}}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C}{(C + x) (C - x)}, \frac{C}{C + x^{2}}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \frac{C}{(C + x) (C - x)}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$y ((C + x) (C - x)) = x C$

Etapa 8.3

Divida cada termo em $y (C + x) (C - x) = x C$ por $(C + x) (C - x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida cada termo em $y (C + x) (C - x) = x C$ por $(C + x) (C - x)$ .

$\frac{y (C + x) (C - x)}{(C + x) (C - x)} = \frac{x C}{(C + x) (C - x)}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $C + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (C + x) (C - x)}{(C + x) (C - x)} = \frac{x C}{(C + x) (C - x)}$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (C - x)}{C - x} = \frac{x C}{(C + x) (C - x)}$

Etapa 8.3.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x C}{(C + x) (C - x)}$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = \frac{C}{C + x^{2}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \frac{C}{C + x^{2}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$y (C + x^{2}) = x C$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $y (C + x^{2}) = x C$ por $C + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $y (C + x^{2}) = x C$ por $C + x^{2}$ .

$\frac{y (C + x^{2})}{C + x^{2}} = \frac{x C}{C + x^{2}}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $C + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (C + x^{2})}{C + x^{2}} = \frac{x C}{C + x^{2}}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x C}{C + x^{2}}$

Etapa 10

Liste as soluções.

$y = \frac{x C}{(C + x) (C - x)}, y = \frac{x C}{C + x^{2}}$