Cálculo Exemplos

$(e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)) d x + (e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x} \sin (y)$ em relação a $y$ é $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2 \sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y \sin (x)$ em relação a $y$ é $- 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\cos (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{x} \cos (y)$ em relação a $x$ é $\cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} - 2 \sin (x)$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

Etapa 5.2

Como $e^{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $e^{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{x} \int \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

Etapa 5.3

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + \int 2 \cos (x) d y$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + 2 \cos (x) y + C$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $\sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{x} \sin (y)$ em relação a $x$ é $\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sin (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) y]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x) y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sin (y) e^{x} + 2 y (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $e^{x} \sin (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y)$

Etapa 9.1.2

Some $2 y \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $e^{x} \sin (y)$ de $e^{x} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 0 + 2 y \sin (x)$

Etapa 9.1.3.2

Some $- 2 y \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 2 y \sin (x)$

Etapa 9.1.3.3

Some $- 2 y \sin (x)$ e $2 y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 y \cos (x) + C$