Cálculo Exemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$8 y d y = 9 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 8 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $9$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$4 y^{2} = 3 x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$ .

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Etapa 3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{4}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{3 x^{3} + K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3 x^{3} + K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{4}}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.3.2.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)}$

Etapa 3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{3 x^{3} + K}$

Etapa 3.3.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 x^{3} + K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$