Cálculo Exemplos

$y^{9} d y = x^{3} d x$

Etapa 1

Integre os dois lados.

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Etapa 1.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{9} d y = \int x^{3} d x$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{9}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{10} y^{10}$ .

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 1.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{10} y^{10} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Multiplique os dois lados da equação por $10$ .

$10 (\frac{1}{10} y^{10}) = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 2.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique $10 (\frac{1}{10} y^{10})$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{10}$ e $y^{10}$ .

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique $10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y^{10} = 10 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Etapa 2.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{10} = 10 \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

Etapa 2.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y^{10} = 2 (5) \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$y^{10} = 5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K$

Etapa 2.2.2.1.4

Combine $5$ e $\frac{x^{4}}{2}$ .

$y^{10} = \frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $5$ de $\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$ .

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Etapa 2.4.1.1

Fatore $5$ de $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K}$

Etapa 2.4.1.2

Fatore $5$ de $10 K$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)}$

Etapa 2.4.1.3

Fatore $5$ de $5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K)}$

Etapa 2.4.2

Para escrever $2 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 2.4.3

Combine $2 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2})}$

Etapa 2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

Etapa 2.4.6

Combine $5$ e $\frac{x^{4} + 4 K}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$

Etapa 2.4.7

Reescreva $\sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Etapa 3

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$