Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\tan^{2} (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (y)$ como $- 1 + \sec^{2} (y)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.4

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$