Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 5 e^{x + 5} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 5 e^{x + 5} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 5 e^{x + 5} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 5 \int e^{x + 5} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x + 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 5 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 5 (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = 5 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$y + C_{1} = 5 e^{x + 5} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 5 e^{x + 5} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 5$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = 5 e^{x + 5} + K$ .

$3 = 5 e^{- 5 + 5} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $5 e^{- 5 + 5} + K = 3$ .

$5 e^{- 5 + 5} + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique $5 e^{- 5 + 5} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Some $- 5$ e $5$ .

$5 e^{0} + K = 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 \cdot 1 + K = 3$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + K = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$K = 3 - 5$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5$ de $3$ .

$K = - 2$

Etapa 5

Substitua $- 2$ por $K$ em $y = 5 e^{x + 5} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 2$ por $K$ .

$y = 5 e^{x + 5} - 2$