Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reordene $e^{- x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\int e^{- x} \cos (x) d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Etapa 7.4.3

Reordene $e^{- x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Etapa 7.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Etapa 7.6

Como $- - 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- - 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 7.7.2

Multiplique $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Etapa 7.8

Ao resolver $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Etapa 7.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Reescreva $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ como $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Etapa 7.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.1.2

Fatore $e^{- x}$ de $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.1.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.2.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.1.3

Fatore o negativo.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Etapa 7.9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.1

Fatore $\frac{e^{- x}}{2}$ de $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Combine.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$