Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Etapa 1

Some $e^{- x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 4$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{4 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{4 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{4 x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $x$ de $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 7.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Etapa 7.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ por $e^{4 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{4 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $e^{4 x}$ de $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{3} e^{- x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $\frac{4}{3}$ por $y$ em $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Etapa 10.2.3

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.3.1

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 10.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Etapa 10.3.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Etapa 10.3.4

Divida $3$ por $3$ .

$C = 1$

Etapa 11

Substitua $1$ por $C$ em $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$