Cálculo Exemplos

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5

Diferencie.

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Etapa 1.5.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Etapa 1.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.5.1

Multiplique $1 + \cos (x y)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

Etapa 1.5.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.5.1

Multiplique $1 + \cos (x y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

Etapa 2.5.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

Etapa 5.4

Deixe $u = x y$ . Depois, $d u = x d y$ , então, $\frac{1}{x} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.4.1

Deixe $u = x y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Diferencie $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 5.4.1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 5.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 5.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

Etapa 5.5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{x}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

Etapa 5.7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

Etapa 5.8

Simplifique.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

Etapa 5.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ .

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Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y + \frac{\sin (x y)}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x y)$ e $g (x) = x$ .

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 8.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.5.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.6

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.10

Multiplique $y$ por $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.12

Some $0$ e $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.13

Combine $x$ e $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.14.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.15

Multiplique $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ por $1$ .

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.17

Some $- \sin (x y)$ e $\sin (x y)$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.18

Some $x (\cos (x y) y)$ e $0$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.19

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.3.19.1

Cancele o fator comum.

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.3.19.2

Divida $\cos (x y) y$ por $1$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Simplifique $y (1 + \cos (x y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1.1

Reescreva.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

Etapa 9.1.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Etapa 9.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

Etapa 9.1.1.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

Etapa 9.1.2.3

Combine os termos opostos em $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Subtraia $y \cos (x y)$ de $y \cos (x y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

Etapa 9.1.2.3.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - y$

Etapa 9.1.2.3.3

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Etapa 12.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$