Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(1 - y)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(1 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(1 - y)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Reescreva $- (- u^{- 1} + C_{1})$ como $- - \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $1$ .

$\frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{1 - y} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1 - y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$1 - y, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$1 - y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{1 - y} = x + K$ por $1 - y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{1 - y} = x + K$ por $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = x (1 - y) + K (1 - y)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x \cdot 1 + x (- y) + K (1 - y)$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = x + x (- y) + K (1 - y)$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = x - x y + K (1 - y)$

Etapa 3.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x - x y + K \cdot 1 + K (- y)$

Etapa 3.2.3.1.5

Multiplique $K$ por $1$ .

$1 = x - x y + K + K (- y)$

Etapa 3.2.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = x - x y + K - K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $x - x y + K - K y = 1$ .

$x - x y + K - K y = 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- x y + K - K y = 1 - x$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- x y - K y = 1 - x - K$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $- x y - K y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y (- x) - K y = 1 - x - K$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $- K y$ .

$y (- x) + y (- K) = 1 - x - K$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- x) + y (- K)$ .

$y (- x - K) = 1 - x - K$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (- x - K) = 1 - x - K$ por $- x - K$ e simplifique.

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Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (- x - K) = 1 - x - K$ por $- x - K$ .

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- x - K$ .

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Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1 - x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1 - x - K}{- x - K}$

Etapa 3.3.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x) - K}$

Etapa 3.3.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - K$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x + K)}$

Etapa 3.3.4.3.2.5

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.2.5.1

Reescreva $- (x + K)$ como $- 1 (x + K)$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- 1 (x + K)}$

Etapa 3.3.4.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$