Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.5

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.6

Combine $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.7

Multiplique $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.7.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.9

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.10

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.10.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Etapa 1.10.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Etapa 1.10.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.11

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Etapa 1.12

Combine $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Etapa 1.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Etapa 1.13.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Etapa 1.14

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.15

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{2 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.15.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.16

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.16.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.17

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{3 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.17.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.18

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{2 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.18.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Etapa 1.18.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $V$ de $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $V$ de $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $V$ de $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $V$ de $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Fatore $V$ de $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.1

Fatore $V$ de $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.2

Fatore $V$ de $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.6

Subtraia $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Multiplique $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Reordene os fatores em $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Etapa 6.1.4.2

Cancele o fator comum de $1 + 2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.1

Fatore $1 + 2 V$ de $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Etapa 6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Etapa 6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $V (V + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $V + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Divida $1 + 2 V$ por $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Reordene $1$ e $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6.1.2

Divida $A (V + 1)$ por $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $V + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.6.4.2

Divida $(B) (V)$ por $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Etapa 6.2.2.1.1.7

Mova $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Etapa 6.2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $V$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $V$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $2 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.3.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = 1$

Etapa 6.2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Deixe $u = V + 1$ . Depois, $d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.2.4.1

Deixe $u = V + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

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Etapa 6.2.2.4.1.1

Diferencie $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Etapa 6.2.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V + 1$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.6.1

Simplifique.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.6.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 8.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.3

Combine $y$ e $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5

Multiplique $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 8.3.5.1

Multiplique $\frac{y (y + x)}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.6

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Etapa 8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Etapa 8.5

Combine.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Etapa 8.6

Multiplique $| y (y + x) |$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$