Cálculo Exemplos

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y + x^{2} y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Etapa 2.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x^{2} + 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x^{2} + 4 = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $x^{2} + 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $- (- x^{2} - 4)$ de $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $4 y + x^{2} y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 4$ e $4 + x^{2}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (x^{2} + 4)$ como $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.3.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.3.4.7

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $4 y + x^{2} y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $4 y + x^{2} y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $4 y + x^{2} y$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Divida $4 + x^{2}$ por $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 4 + x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 8.4

Simplifique.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.3

Como $4 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.4

Como $\frac{1}{3} x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.6

Combine os termos.

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Etapa 11.6.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 11.6.2

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{y - 1}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Etapa 12.3

Divida a fração em diversas frações.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Etapa 12.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Etapa 12.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.5.1.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Etapa 12.5.1.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Etapa 12.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.6

Aplique a regra da constante.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.7

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 12.8

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Etapa 12.9

Simplifique.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$