Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = {(\frac{e^{t}}{y})}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{e^{t}}{y}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{{(e^{t})}^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{t \cdot 2}}{y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = e^{2 t}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = e^{2 t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int e^{2 t} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{2 t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{2 t} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 t}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $3$ de $\frac{3 e^{2 t}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $3$ de $3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + 2 K}{2}}$

Etapa 3.4.5

Combine $3$ e $\frac{e^{2 t} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.8.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 3.4.8.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.8.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.8.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.8.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.8.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 3.4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.4.9.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 3.4.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.10.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Etapa 3.4.10.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + 2 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + K)}}{2}$