Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 4 y}{x + 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $x^{2} y - 4 y$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 4 y}{x + 2}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 4}{x + 2}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $y$ de $y x^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 4)}{x + 2}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 2^{2})}{x + 2}$

Etapa 1.1.3

Fatore.

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Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $y$ de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

Etapa 1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

Etapa 1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4.2.2

Divida $x - 2$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (x - 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$