Cálculo Exemplos

$(y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}) d x + (2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (2 \cdot x y)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.7.1

Mova $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1} y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1 + 2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.3.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Etapa 1.4

Como $4 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores em $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y e^{x y^{2}}$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.8

Multiplique $e^{x y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- 3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y^{2} y^{1}) (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2 + 1} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2.4

Some $2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Etapa 2.5.4

Reordene os fatores em $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.2

Como $2 x$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x \int y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.3

Deixe $u = x y^{2}$ . Depois, $d u = 2 \cdot y x d y$ , então, $\frac{1}{2 x} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.3.1

Deixe $u = x y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Diferencie $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Etapa 5.3.1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 5.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 y)$

Etapa 5.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x y$

Etapa 5.3.1.5

Reordene $2 x$ e $y$ .

$y (2 x)$

Etapa 5.3.1.6

Remova os parênteses.

$y \cdot 2 x$

Etapa 5.3.1.7

Reordene $y$ e $2$ .

$2 \cdot y x$

Etapa 5.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = 2 x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = 2 x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.5

Como $\frac{1}{2 x}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x (\frac{2}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.2

Combine $\frac{2}{2 x}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.3.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.6.5

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 3 y^{2} d y$

Etapa 5.8

Como $- 3$ é constante com relação a $y$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 \int y^{2} d y$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 5.10

Simplifique.

$f (x, y) = e^{u} - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 5.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 3}{3} y^{3} + C$

Etapa 5.11.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.11.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + C$

Etapa 5.11.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.11.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + C$

Etapa 5.11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

Etapa 5.11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 1}{1} y^{3} + C$

Etapa 5.11.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{u} - y^{3} + C$

Etapa 5.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.4

Como $- y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Some $e^{x y^{2}} y^{2}$ e $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 8.6.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x y^{2}} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y^{2} e^{x y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y^{2} e^{x y^{2}}$ de $y^{2} e^{x y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $4 x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 10.3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + x^{4} + C$