Cálculo Exemplos

$(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x (y d) y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Etapa 1.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Etapa 2.2

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 3 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 y = 3 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $3 x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $3 x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{y (- 2 - 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{3 x}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3 x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{3 x} d x}$

Etapa 5.2

Como $\frac{5}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{3}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{5}{3} \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $\frac{5}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \ln (| x |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{5}{3} \ln (| x |)$ movendo $\frac{5}{3}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5}{3} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} + C$

Etapa 5.5.4.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 5}{3}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{5}{3}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{5}{3}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Etapa 6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $3 x y$ por $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Combine $x$ e $\frac{3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Combine $y$ e $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.6

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x^{\frac{5}{3}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1}} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.7.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 3}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.7.5.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.8

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 \cdot x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $2$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Combine $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $\frac{3 y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.12

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.13.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.13.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.14

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.15

Multiplique $\frac{3 y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3 y^{2} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.16

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{6 y^{2}}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.17

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.18

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.3.19

Reescreva a expressão.

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Expanda $(- x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.3.1.6.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.1.8

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.2

Subtraia $y x$ de $x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.3.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.2.2

Subtraia $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3.3

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Combine os termos opostos em $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Mova $x^{\frac{5}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{5}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{5}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.1

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{5}{3}} x^{2}) = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 6}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.6.2

Some $- 5$ e $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{1}{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{3}}$ que esteja presente em cada termo.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 12.1.3

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - (u) = 0$

Etapa 12.1.4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Etapa 12.1.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Etapa 12.1.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - u = 0$

Etapa 12.1.4.1.2

Simplifique.

$\frac{d g}{d x} - u = 0$

Etapa 12.1.4.2

Subtraia $\frac{d g}{d x}$ dos dois lados da equação.

$- u = - \frac{d g}{d x}$

Etapa 12.1.4.3

Divida cada termo em $- u = - \frac{d g}{d x}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.3.1

Divida cada termo em $- u = - \frac{d g}{d x}$ por $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.3.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{1}$

Etapa 12.1.4.3.3.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$u = \frac{d g}{d x}$

Etapa 12.1.5

Substitua $\frac{d g}{d x}$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$

Etapa 12.1.6

Reescreva $x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$ para que $\frac{d g}{d x}$ fique do lado esquerdo.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{\frac{1}{3}}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 15

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C$