Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $3 y - y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $3 y - y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 - y^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 + y (- y)}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 3 + y (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 y \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.4

Combine $3$ e $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.5.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.5.2

Cancele o fator comum.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Etapa 1.2.5.3

Reescreva a expressão.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y \frac{\cos (x)}{3 - y}$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ e $y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - \frac{\cos (x) y}{3 - y}$

Etapa 1.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x) - \cos (x) y}{3 - y}$

Etapa 1.2.8

Fatore $\cos (x)$ de $3 \cos (x) - \cos (x) y$ .

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Etapa 1.2.8.1

Fatore $\cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 - \cos (x) y}{3 - y}$

Etapa 1.2.8.2

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x) y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)}{3 - y}$

Etapa 1.2.8.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Etapa 1.2.9

Cancele o fator comum de $3 - y$ .

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Etapa 1.2.9.1

Cancele o fator comum.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Etapa 1.2.9.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(3 y - y^{2}) d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Simplifique.

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} = \sin (x) + K$