Cálculo Exemplos

${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x + {(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia ${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$ dos dois lados da equação.

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = - {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por ${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2}$ .

${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique ${(e^{- x} + 1)}^{3}$ por ${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Mova ${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ .

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(e^{- x} + 1)}^{- 3 + 3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.1.3

Some $- 3$ e $3$ .

${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.2

Simplifique ${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y}$ .

${(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva ${(e^{- y} + 1)}^{2}$ como $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ .

$(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.4

Expanda $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- y} (e^{- y} + 1) + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Multiplique $e^{- y}$ por $e^{- y}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y - y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5.1.1.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$(e^{- 2 y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.5.2

Some $e^{- y}$ e $e^{- y}$ .

$(e^{- 2 y} + 2 e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- 2 y} e^{y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $e^{y}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- 2 y + y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.1.2

Some $- 2 y$ e $y$ .

$(e^{- y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.2

Multiplique $e^{- y}$ por $e^{y}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Mova $e^{y}$ .

$(e^{- y} + 2 (e^{y} e^{- y}) + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y} + 2 e^{y - y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.2.3

Subtraia $y$ de $y$ .

$(e^{- y} + 2 e^{0} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.3

Simplifique $2 e^{0}$ .

$(e^{- y} + 2 + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.7.4

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

Etapa 3.9

Multiplique ${(e^{- y} + 1)}^{2}$ por ${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.9.1

Mova ${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} {(e^{- y} + 1)}^{2}) e^{x} d x$

Etapa 3.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{- 2 + 2} e^{x} d x$

Etapa 3.9.3

Some $- 2$ e $2$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x} d x$

Etapa 3.10

Simplifique $- {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} e^{x} d x$

Etapa 3.11

Use o teorema binomial.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - ({(e^{- x})}^{3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- x})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- x \cdot 3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- x})}^{2}$ .

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Etapa 3.12.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1 + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1^{3}) e^{x} d x$

Etapa 3.12.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1) e^{x} d x$

Etapa 3.13

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - (3 e^{- 2 x}) - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

Etapa 3.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

Etapa 3.14.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

Etapa 3.14.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1) e^{x} d x$

Etapa 3.15

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} e^{x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16

Simplifique.

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Etapa 3.16.1

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.1

Mova $e^{x}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- (e^{x} e^{- 3 x}) - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{x - 3 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.1.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.2

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.16.2.1

Mova $e^{x}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 (e^{x} e^{- 2 x}) - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{x - 2 x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.2.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.3

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.1

Mova $e^{x}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 (e^{x} e^{- x}) - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{x - x} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{0} - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.4

Simplifique $- 3 e^{0}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - 1 e^{x}) d x$

Etapa 3.16.5

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{- y} + 2 + e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{- y} d y + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u_{1} = - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Deixe $u_{1} = - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 4.2.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.5

Aplique a regra da constante.

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.6

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + e^{y} + C_{3} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.7

Simplifique.

$- e^{u_{1}} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- y$ .

$- e^{- y} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.2.9

Reordene os termos.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 4.3.3.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 4.3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.4.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = 1 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.6.2

Multiplique $\int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$ por $1$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.8

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.9

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.10

Deixe $u_{3} = - x$ . Depois, $d u_{3} = - d x$ , então, $- d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 4.3.10.1

Deixe $u_{3} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.10.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.3.10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.10.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int - e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 (- \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.12

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.13

A integral de $e^{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $e^{u_{3}}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.14

Aplique a regra da constante.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.15

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - \int e^{x} d x$

Etapa 4.3.16

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - (e^{x} + C_{8})$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{u_{2}} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

Etapa 4.3.18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.3.18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

Etapa 4.3.18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- x$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{- x} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

Etapa 4.3.19

Reordene os termos.

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + C_{9}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y + e^{y} - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + K$