Cálculo Exemplos

$x (2 y + 1) d y + 2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y^{2} + y + 2 x^{2})]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + y + 2 x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Etapa 2.6

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + 0)$

Etapa 2.7

Some $2 y + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1)$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + 2 \cdot 1$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

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Etapa 2.8.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (2 y + 1)$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 y + 1)]$

Etapa 3.2

Como $2 y + 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x (2 y + 1)$ em relação a $x$ é $(2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $2 y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $4 y + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y + 2 = 2 y + 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 y + 2 = 2 y + 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $4 y + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x (2 y + 1)$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x (2 y + 1)$ por $N$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y + 2 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{2 y + 2 - 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.2.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 6.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ por $x$ .

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y^{2} + 2 y + 2 (2 x^{2})) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$(2 y^{2} + 2 y + 4 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{2} x) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1

Mova $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x \cdot x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x^{1} x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{1 + 2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.5.3

Some $1$ e $2$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $x (2 y + 1)$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) x d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.7.1

Mova $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x \cdot x (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x^{2} (2 y + 1) d y = 0$

Etapa 7.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Etapa 7.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Etapa 7.10

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y + x^{2} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = 2 x^{2} y + x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y + \int x^{2} d y$

Etapa 9.2

Como $2 x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y + \int x^{2} d y$

Etapa 9.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y$

Etapa 9.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C$

Etapa 9.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C$

Etapa 9.6

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 12.4.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y^{2} x + y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 12.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x$

Etapa 13.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$

Etapa 13.1.3

Combine os termos opostos em $2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$ .

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Etapa 13.1.3.1

Subtraia $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} + 0 - 2 x y$

Etapa 13.1.3.2

Some $2 y x + 4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} - 2 x y$

Etapa 13.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $2 y x$ e $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 4 x^{3} - 2 x y$

Etapa 13.1.3.4

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Etapa 13.1.3.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $4 x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 14.3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 14.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.5.1

Reescreva $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 14.5.2

Simplifique.

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Etapa 14.5.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 14.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{4} + C$