Cálculo Exemplos

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Etapa 1

Some $(1 + e^{y}) d x$ aos dois lados da equação.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + e^{y}}$ e $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u = 1 + e^{y}$ . Depois, $d u = e^{y} d y$ , então, $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = 1 + e^{y}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Etapa 4.2.1.1.4

Some $0$ e $e^{y}$ .

$e^{y}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 4.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$