Cálculo Exemplos

$(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 4 x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $4 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $y$ é $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 2 (x^{2} - y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - y)]$

Etapa 2.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} - y)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.5

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x)$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $4 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 4 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 2 y = - 4 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x + 2 y = - 4 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 4 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $4 x y + y^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $4 x y + y^{2}$ por $M$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 x - (4 x) - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 8 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $- 8 x - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (- 4 x) - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- 4 x) + 2 (- y)}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (- 4 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{4 x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $4 x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $4 x y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 4 x - y$ e $4 x + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- (4 x) - y)}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{2 (- (4 x) - (y))}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (4 x + y)$ como $- 1 (4 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $4 x y + y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $4 x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(4 x y + y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $4 x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x y + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $4 x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $4 x y$ .

$\frac{y (4 x) + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x) + y \cdot y}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2 (x^{2} - y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} - 2 (- y)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} + 2 y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique $- 2 x^{2} + 2 y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{- 2 x^{2} + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 (y)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2} + y)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.10

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) + y)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- y))}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.12

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.13

Reescreva $- (x^{2} - y)$ como $- 1 (x^{2} - y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- 1 (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 x + y}{y} d x - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{4 x + y}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{4 x + y}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} + \frac{y}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int d x$

Etapa 8.4

Como $\frac{4}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{4}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{4}{y} \int x d x + \int d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Etapa 8.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Etapa 8.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Etapa 8.8

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{y \cdot 2} + x + C$

Etapa 8.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 \cdot y} + x + C$

Etapa 8.9.2

Multiplique $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 y} + x + C$

Etapa 8.9.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

Etapa 8.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (y)} + x + C$

Etapa 8.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

Etapa 8.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{2 x^{2}}{y}$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{2} \frac{1}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} \frac{- 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{- 2}{y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.5

Some $- \frac{2 x^{2}}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 (- y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2 y}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 2 y}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Etapa 12.1.1.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Etapa 12.1.1.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{2}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{2}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 13.5

Simplifique.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Etapa 15.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln (y^{2}) + C$