Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) y}{x (4 y^{3} + 3 y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{4 y^{3} + 3 y}{y}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3.2.2

Divida $4 y^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Etapa 1.3.3

Fatore $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + 3 y})$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + y \cdot 3})$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{1}{4 y^{2} + 3})$

Etapa 1.3.5

Multiplique $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$ por $\frac{1}{4 y^{2} + 3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x (4 y^{2} + 3)}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $4 y^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Fatore $4 y^{2} + 3$ de $x (4 y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Etapa 1.3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Etapa 1.3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $y$ de $4 y^{3}$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.1.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.1.3

Fatore $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Divida $4 y^{2} + 3$ por $1$ .

$\int 4 y^{2} + 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

$\frac{4 y^{3}}{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.2.6.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{2}}{1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.1.2.5

Divida $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 \int x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3.8

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.9

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 (\ln (| x |) + C_{6})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C_{7}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C$