Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y + 6$

Etapa 1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x + 6$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 6$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 6$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 6$

Etapa 3.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + 6 e^{3 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + 6 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.4.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.6

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.6.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.6.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.6.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.6.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.7

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.9

Simplifique.

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Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.10

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int 6 e^{3 x} d x$

Etapa 7.11

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.12

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.12.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.12.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.12.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.12.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 7.13

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 7.14

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7.15

Simplifique.

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Etapa 7.15.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{6}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.15.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 7.15.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.15.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.15.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.15.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.15.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.15.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.16

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 7.17

Simplifique.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + 2 e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + 2 e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + 2 e^{3 x} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$

Etapa 8.1.2

Remova os parênteses.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ .

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Etapa 8.2.3.2.1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.1.2

Combine $\frac{x}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{x e^{3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4

Multiplique $2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ .

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Etapa 8.2.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.3

Para escrever $2 e^{3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} \cdot \frac{9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 8.2.3.4.1

Combine $2 e^{3 x}$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.5.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} \cdot 9$ .

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Etapa 8.2.3.5.1.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5.1.2

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} (9)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5.1.3

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} (9)$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1 + 9)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5.2

Some $- 1$ e $9$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} \cdot 8}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.6.1

Para escrever $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + 16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.6.4.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 + 16 e^{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.6.4.1.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.4.1.2

Fatore $2 e^{3 x}$ de $16 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.4.1.3

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (8)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 + 8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.5

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.6

Combine $C$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot 8 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot 8 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.8.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.8.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.8.5

Mova $9$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.8

Multiplique $\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9}$ por $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.9

Reordene os fatores em $\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$