Cálculo Exemplos

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y \sin (x) + x y \cos (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y \sin (x)$ em relação a $y$ é $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $x \cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y \cos (x)$ em relação a $y$ é $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sin (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Etapa 3.4.2

Some $x \cos (x) + \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x \cos (x) + \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x \cos (x) + \sin (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(x \sin (x) + 1) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sin (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.7

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.3.8

Some $x \cos (x) + \sin (x)$ e $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.5

Simplifique.

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Etapa 9.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 9.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.1

Subtraia $x y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Etapa 10.1.2

Subtraia $y \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Etapa 10.1.3

Combine os termos opostos em $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Etapa 10.1.3.1

Subtraia $x y \cos (x)$ de $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Etapa 10.1.3.2

Some $y \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Etapa 10.1.3.3

Subtraia $y \sin (x)$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 11.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 11.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Etapa 13

Simplifique $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Etapa 13.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Etapa 13.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$