Cálculo Exemplos

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $(1 + x y) d y$ dos dois lados da equação.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Etapa 2.5

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 + x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.6

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = - y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = - y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y^{2} + 1$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $y^{2} + 1$ por $M$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y$ de $- y - 1 \cdot 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.4

Substitua $y^{2} + 1$ por $M$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Etapa 6.4

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.4.1

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 6.4.1.1

Diferencie $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 6.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 6.4.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 6.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 6.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 6.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 6.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Etapa 6.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Etapa 6.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.1

Multiplique $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

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Etapa 6.11.1.1

Reordene $\ln (| y^{2} + 1 |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Etapa 6.11.1.2

Simplifique $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ movendo $\frac{3}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Etapa 6.11.2

Simplifique $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 6.11.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 6.11.4

Multiplique os expoentes em ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.11.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 6.11.4.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.11.4.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Etapa 6.11.4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Etapa 6.11.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.11.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y^{2} + 1$ por $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $y^{2} + 1$ por $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.3

Subtraia o expoente do denominador do expoente do numerador para a mesma base

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.4.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.7

Subtraia $3$ de $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Etapa 7.10

Multiplique $- (1 + x y)$ por $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.11

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.13

Multiplique $- 1 - x y$ por $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.14

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.15

Fatore $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.16

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x y)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.8

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.14

Some $2 y$ e $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.16

Combine $2$ e $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.17

Combine $\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.18

Mova ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.19

Cancele o fator comum.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.20

Reescreva a expressão.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.21

Combine $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.22

Mova ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.23

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.23.1

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.23.1.1

Eleve $y^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.23.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.23.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.23.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.23.4

Some $1$ e $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.24

Combine $x$ e $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Combine os termos opostos em $- x y + 1 + x y$ .

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Etapa 13.1.1.3.1

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 14.4

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Etapa 14.5

Deixe $y = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.6

Simplifique $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

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Etapa 14.6.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.6.2

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 14.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.6.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.6.3

Reescreva $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.6.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.7

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 14.7.1

Fatore $\sec^{2} (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.7.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 14.7.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Etapa 14.8

Simplifique.

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Etapa 14.8.1

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Etapa 14.8.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Etapa 14.8.3

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Etapa 14.9

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Etapa 14.10

Simplifique.

$g (y) = - \sin (t) + C$

Etapa 14.11

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Etapa 16

Simplifique $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, y)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (y)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, y)$ . Portanto, $\sin (\arctan (y))$ é $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Etapa 16.1.2

Multiplique $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Etapa 16.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 16.1.3.1

Multiplique $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Etapa 16.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + y^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Etapa 16.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + y^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Etapa 16.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Etapa 16.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Etapa 16.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ como $1 + y^{2}$ .

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Etapa 16.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + y^{2}}$ como ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Etapa 16.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Etapa 16.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Etapa 16.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Etapa 16.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Etapa 16.1.3.6.5

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Etapa 16.2

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Etapa 16.3

Para escrever $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Etapa 16.4

Para escrever $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.5.1

Multiplique $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.2

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 16.5.2.1

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ .

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Etapa 16.5.2.1.1

Eleve $y^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.3

Multiplique $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ por $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.4

Multiplique $y^{2} + 1$ por ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.5.4.1

Multiplique $y^{2} + 1$ por ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 16.5.4.1.1

Eleve $y^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Etapa 16.5.4.4

Some $2$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + y^{2}}$ como ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4

Multiplique $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 16.7.1.4.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.2

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.7.1.4.2.1

Mova ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.4.3

Simplifique $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.6

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.7.1.6.1

Mova $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.6.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 16.7.1.6.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.6.3

Some $2$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.8

Reescreva $x y^{2} + x - y^{3} - y$ em uma forma fatorada.

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Etapa 16.7.1.8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 16.7.1.8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.1.8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 16.7.2

Mova ${(y^{2} + 1)}^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Etapa 16.7.3

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.7.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Etapa 16.7.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Etapa 16.7.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Etapa 16.7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Etapa 16.7.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.7.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Etapa 16.7.3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$