Cálculo Exemplos

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 1.3.2

Divida $3 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Etapa 3.3

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{2}{e^{x}}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{3 x} \cdot 2}{e^{x}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{x}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{3 x} \cdot 2$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x}}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{2 x} \cdot 2}{1}$

Etapa 3.4.2.4

Divida $e^{2 x} \cdot 2$ por $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 \cdot e^{2 x}$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int 2 e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} y = 1 \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{3 x} y = \int e^{u} d u$

Etapa 7.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = e^{u} + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{3 x} y = e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Divida $e^{- x}$ por $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{3 x}}$