Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \csc (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - \csc (V)$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \csc (V)$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 5.1

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V - \csc (V) - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V - \csc (V) - V$ .

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Etapa 5.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 - \csc (V)$

Etapa 5.1.1.1.2.2

Subtraia $\csc (V)$ de $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $\csc (V)$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{\csc (V)}$ para o numerador.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Etapa 5.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

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Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1.1

Reescreva $\csc (V)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.3

Multiplique $\sin (V)$ por $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

A integral de $\sin (V)$ com relação a $V$ é $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2.2

Divida $\cos (V)$ por $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Divida $\ln (| x |)$ por $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Etapa 5.3.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro do cosseno.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Etapa 5.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Reordene os fatores em $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$