Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{- 5 x} - x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (8 e^{- 5 x} - x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 8 \int e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = - 5 x$ . Depois, $d u = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = - 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.3.1.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 8 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 8 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{u} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + K$