Cálculo Exemplos

$\frac{d t}{d u} = \frac{t u + u + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t u + u) + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d t}{d u} = \frac{u (t + 1) + 3 (t + 1)}{t u + 2 u - t - 2}$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $t + 1$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{t u + 2 u - t - 2}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t u + 2 u) - t - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{u (t + 2) - (t + 2)}$

Etapa 1.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $t + 2$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d t}{d u} = \frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{t + 2}{t + 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} (\frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{t + 1}{t + 2}$ por $\frac{u + 3}{u - 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $t + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Etapa 1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $t + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{u + 3}{u - 1}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{t + 2}{t + 1} d t = \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{t + 2}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida $t + 2$ por $t + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$1$

$t$

$2$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$2$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			+	$t$	+	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t + 1$ .

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$
					+	$1$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 + \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d t + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$t + C_{1} + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.4

Deixe $u_{1} = t + 1$ . Depois, $d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Deixe $u_{1} = t + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Diferencie $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Etapa 2.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.2.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$t + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$t + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$t + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t + 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida $u + 3$ por $u - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$1$

$u$

$3$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$1$
	$u$	-	$1$		$u$	+	$3$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			+	$u$	-	$1$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u - 1$ .

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$
					+	$4$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{4}{u - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int d u + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u - 1} d u$

Etapa 2.3.5

Deixe $u_{2} = u - 1$ . Depois, $d u_{2} = d u$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Deixe $u_{2} = u - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $u - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u - 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u - 1$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [- 1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 1$ em relação a $u$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u - 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$t + \ln (| t + 1 |) = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C$