Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Etapa 5.3

Reescreva $- x^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{x} + C$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{x} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$