Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Etapa 1.4

Divida cada termo em $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ por $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.6.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $\cos^{3} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.8

Fatore $y$ de $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 1.9

Reordene $y$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.2.1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 3.2.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Reordene $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $\sin (x) (\cot (x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 3.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 3.6

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Etapa 3.7

Reordene os fatores em $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sin (x) y = \tan (x) + C$ por $\sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sin (x) y = \tan (x) + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ como um produto.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.2.2

Separe as frações.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.2.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Etapa 8.3.2.4

Divida $C$ por $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$