Cálculo Exemplos

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ e $y (0) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $e^{- 6 y}$ de $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $e^{- 6 y}$ de $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Etapa 1.1.2

Fatore $e^{- 6 y}$ de $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3

Fatore $e^{- 6 y}$ de $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{- 6 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- 6 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{6 y}$ por $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 6 y$ . Depois, $d u = 6 d y$ , então, $\frac{1}{6} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 6 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 y$ em relação a $y$ é $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $6 (t^{2} - t + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{6 y})$ movendo $6 y$ para fora do logaritmo.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.3

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.3.1

Some $0$ e $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Some $0$ e $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\ln (K) = 12$

Etapa 6.4

Para resolver $K$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Etapa 6.5

Reescreva $\ln (K) = 12$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Etapa 6.6

Reescreva a equação como $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

Etapa 7

Substitua $e^{12}$ por $K$ em $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $e^{12}$ por $K$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ movendo $\frac{1}{6}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$