Cálculo Exemplos

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.3

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.3.6.5

Simplifique.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.4

Combine $3$ e $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Etapa 1.3.5

Combine $v$ e $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Fatore $u$ de $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Etapa 1.3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Etapa 1.3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

Etapa 1.3.7

Combine $v$ e $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ e $\sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.9

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.10

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13

Reescreva ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.13.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.13.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.13.5

Simplifique.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.14

Cancele o fator comum de $1 + u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Etapa 1.3.14.2

Divida $v \cdot 3$ por $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

Etapa 1.3.15

Mova $3$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 u d u$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $1$ em relação a $u$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 u$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $2 u$ .

$2 u$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.4.2

Mova ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{1}$ é $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.6.2.3

Multiplique ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $v$ , mova $3$ para fora da integral.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $v$ com relação a $v$ é $\frac{1}{2} v^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique.

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ como $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ .

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Expanda $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Combine.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Multiplique $v^{2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.2.1

Mova $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.5

Combine $\frac{3 v^{2}}{2}$ e $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.6

Combine $K$ e $\frac{3 v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

Etapa 3.2.2.1.3.1.7

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.8

Multiplique $K$ por $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Some $\frac{3 v^{2} K}{2}$ e $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Mova $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Some $\frac{3 K v^{2}}{2}$ e $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

Etapa 3.3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

Etapa 3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva $9 v^{4}$ como ${(3 v^{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3.1.4

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

Etapa 3.3.3.1.5

Reescreva o polinômio.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3.1.6

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ e $b = K$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ e $b = 1$ .

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Etapa 3.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Etapa 3.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Etapa 3.3.4.3