Cálculo Exemplos

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y \ln (x) + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\ln (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y \ln (x)$ em relação a $y$ é $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (x) - e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.4

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Etapa 2.4.2

Some $1 + \ln (x)$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\ln (x) + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1 + \ln (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Etapa 5.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Etapa 5.4

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x \ln (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.3.6.1

Cancele o fator comum.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.6.2

Reescreva a expressão.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.4

Como $- e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Etapa 8.6.2

Combine os termos.

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Etapa 8.6.2.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Etapa 8.6.2.2

Some $y + y \ln (x)$ e $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Etapa 8.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Etapa 9.1.2

Subtraia $y \ln (x)$ de $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Some $- y$ e $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Etapa 9.1.3.2

Some $- \frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Etapa 9.1.4

Como $\frac{d g}{d x}$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 9.1.5

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d x} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.1.5.1

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d x} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.1.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.1.5.2.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.1.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.1.5.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$