Cálculo Exemplos

$(e^{x} + 1) y d y = (y + 1) e^{x} d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $e^{x} + 1$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $e^{x} + 1$ de $(e^{x} + 1) y$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) (y)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{y + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $y + 1$ de $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.3.2

Fatore $y + 1$ de $(y + 1) e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Etapa 2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{e^{x} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Divida $y$ por $y + 1$ .

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Etapa 3.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 3.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Etapa 3.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Etapa 3.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 3.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.5

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 3.2.5.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 3.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Deixe $u_{2} = e^{x} + 1$ . Depois, $d u_{2} = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Deixe $u_{2} = e^{x} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Diferencie $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 3.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0$

Etapa 3.3.1.1.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3.3.2

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \ln (| e^{x} + 1 |) + C$