Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Etapa 3

Encontre $y'$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 3.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Como $A$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $A x e^{x^{2}}$ em relação a $x$ é $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.8.1

Some $1$ e $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 3.3.10

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Etapa 3.3.11

Simplifique.

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Etapa 3.3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Etapa 3.3.11.2

Reordene os termos.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Etapa 3.3.11.3

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Etapa 4

Substitua na equação diferencial determinada.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.1.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x (A e^{x^{2}})$ e $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.2.2

Subtraia $e^{x^{2}} A x$ de $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.2.3

Some $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ e $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Etapa 5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Etapa 5.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Etapa 5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Etapa 6

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = A x e^{x^{2}}$ é uma solução para $x y' - y = 2 x^{2} y$