Cálculo Exemplos

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Etapa 1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y (2 x)$

Etapa 2.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y^{2} x + 2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y^{2} x + 2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x y^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x y^{2}$ por $M$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $y x$ de $2 y^{2} x + 2 x y - 1 \cdot 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{y x (2 y) + 2 x y - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y x$ de $2 x y$ .

$\frac{y x (2 y) + y x (2) - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y x$ de $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{y x (2 y) + y x (2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Fatore $y x$ de $y x (2 y) + y x (2)$ .

$\frac{y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.5

Fatore $y x$ de $y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y x (2 y + 2 - 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y x (2 y + 2 - 2)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os termos opostos em $2 y + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{y x (2 y + 0)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{y x (2 y)}{x y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 y}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y)}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y^{1})}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \cdot 2 y^{1 + 1}}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 4.3.4

Substitua $x y^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 d y}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x y^{2}$ por $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ por $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) e^{2 y} d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} e^{2 y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = x y^{2} e^{2 y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $y^{2} e^{2 y}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2} e^{2 y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \int x d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.3.3

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.3

Combine $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.4

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.7

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \cdot 2) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y})) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2} x^{2}}{2} (2 e^{2 y}) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.2

Combine $2$ e $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.3

Combine $\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2}) e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.4.2

Divida $y^{2} x^{2} e^{2 y}$ por $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.5

Combine $e^{2 y}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{e^{2 y} x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.6

Combine $2$ e $\frac{e^{2 y} x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.7

Combine $\frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2}$ e $y$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2}) y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 e^{2 y} x^{2} y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.2.8.2

Divida $e^{2 y} x^{2} y$ por $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + e^{2 y} x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 11.5.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $x^{2} y e^{2 y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Subtraia $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ de $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} + 0 - x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 12.1.3.2

Some $x^{2} y e^{2 y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Etapa 12.1.3.3

Subtraia $x^{2} y e^{2 y}$ de $x^{2} y e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + C$