Cálculo Exemplos

$y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + 2 x y^{2} - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y^{2} - 2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 x y^{2} - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $x$ é $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.4

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some $1 + 2 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2 y^{2} + 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = 2 y^{2} + 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 0}{y}$

Etapa 4.3.2.2

Some $2 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 y^{2}}{y}$

Etapa 4.3.3

Substitua $y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y (2 y)}{y}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Etapa 4.3.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Etapa 4.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Etapa 4.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y}{1}$

Etapa 4.3.3.2.5

Divida $2 y$ por $1$ .

$2 y$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 y d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 y d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int y d y}$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva $e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$ como $e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{1 y^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y$ por $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x + 2 x y^{2} - 2 y$ por $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) e^{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{y^{2}} d x + (x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{y^{2}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y e^{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x + g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y e^{y^{2}} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y e^{y^{2}} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$x (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.9

Some $1$ e $1$ .

$x (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $e^{y^{2}}$ .

$x (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.3.11

Multiplique $e^{y^{2}}$ por $1$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + x e^{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} x e^{y^{2}} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $2 y^{2} x e^{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $x e^{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x y^{2} e^{y^{2}}$ e $- 2 y^{2} x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x - 2 y e^{y^{2}} - 2 e^{y^{2}} y^{2} x - x e^{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2

Subtraia $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ de $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} + 0 - x e^{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.3

Some $x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.4

Subtraia $x e^{y^{2}}$ de $x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}} + 0$

Etapa 12.1.3.5

Some $- 2 y e^{y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 2 y e^{y^{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Etapa 13.3

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 \int y e^{y^{2}} d y$

Etapa 13.4

Deixe $u = y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Deixe $u = y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1.1

Diferencie $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 13.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y$

Etapa 13.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 13.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 13.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 13.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 13.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 13.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 13.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 13.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 13.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - \int e^{u} d u$

Etapa 13.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = - (e^{u} + C)$

Etapa 13.9

Simplifique.

$g (y) = - e^{u} + C$

Etapa 13.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$g (y) = - e^{y^{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{y^{2}} - e^{y^{2}} + C$