Cálculo Exemplos

$x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ por $x^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y x^{3}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{6}$ .

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} (\frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} \cdot \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Etapa 1.4.2

Combine.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 (x^{3})}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 x^{3}}$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{y}{6} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{6} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{12} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 (\frac{1}{12} y^{2}) = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $12 (\frac{1}{12} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $y^{2}$ .

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 x^{2}}$ para o numerador.

$y^{2} = 12 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore $2$ de $12$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 6 \frac{- 1}{x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $6$ e $\frac{- 1}{x^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1.4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 6}{x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{6}{x^{2}} + 12 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $6$ de $- \frac{6}{x^{2}} + 12 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $6$ de $- \frac{6}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 12 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $6$ de $12 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $6$ de $6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + 2 K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $2 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}})}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{6 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.4.4

Combine $6$ e $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))$ .

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Etapa 3.4.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $6 (- 1 + 2 K x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2}}}$

Etapa 3.4.5.2

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.4.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}$

Etapa 3.4.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$

Etapa 3.4.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$