Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.5.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Etapa 4.2.1.5.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.2

Some $4$ e $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.4

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.6.2

Subtraia $8$ de $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $\frac{16}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = - \frac{16}{3}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{16}{3}$ por $K$ em $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- \frac{16}{3}$ por $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$