Cálculo Exemplos

$(1 + y) d x = (1 - x) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$(1 - x) d y = (1 + y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $1 + y$ de $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.2

Divida a fração em diversas frações.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = C$

Etapa 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = C$

Etapa 5.4

Expanda $(1 + y) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = C$

Etapa 5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = C$

Etapa 5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | 1 - x + y - y x |$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $| 1 - x + y - y x | = e^{C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{C}$

Etapa 5.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.8.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x + y - y x = \pm e^{C} - 1$

Etapa 5.8.3.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Etapa 5.8.4

Fatore $y$ de $y - y x$ .

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Etapa 5.8.4.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Etapa 5.8.4.2

Fatore $y$ de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Etapa 5.8.4.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Etapa 5.8.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Etapa 5.8.6

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 5.8.6.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.8.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.6.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 5.8.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.8.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.8.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.8.6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1 + x}{1 - x}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$